Công thức liên hệ (Transformation)

Các công thức liên hệ:

T n ( 1 − 2 x 2 ) = ( − 1 ) n T 2 n ( x ) {\displaystyle T_{n}\left(1-2x^{2}\right)=(-1)^{n}T_{2n}(x)} (trans.1)

và

U n ( 1 − 2 x 2 ) x = ( − 1 ) n U 2 n + 1 ( x ) . {\displaystyle U_{n}\left(1-2x^{2}\right)x=(-1)^{n}U_{2n+1}(x).} (trans.2)

Nghiệm và cực trị

Một đa thức Cheybyshev bậc n (cả hai loại) có n nghiệm thực phân biệt, gọi là nghiệm Chebyshev, các nghiệm này đều nằm trên khoảng [−1,1]. Các nghiệm này đôi khi được gọi là các điểm nút Chebyshev (tiếng Anh: Chebyshev nodes) bởi vì chúng được dùng trong đa thức nội suy. Sử dụng định nghĩa lượng giác của đa thức Chebyshev, với

cos ⁡ ( π 2 ( 2 k + 1 ) ) = 0 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}\,(2k+1)\right)=0}

ta có thể chứng minh dễ dàng các nghiệm của Tn là

x k = cos ⁡ ( π 2 2 k − 1 n ) , k = 1 , … , n . {\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2k-1}{n}}\right),\quad k=1,\ldots ,n.}

Tương tự, các nghiệm của Un là

x k = cos ⁡ ( k n + 1 π ) , k = 1 , … , n . {\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}

Giá trị cực đại của đa thức Chebyshev loại I trên khoảng −1 ≤ x ≤ 1 bằng 1 và giá trị cực tiểu bằng -1. Đa thức Chebyshev chỉ có 2 giá trị tới hạn, giống như đặc tính của đa thức Shabat.

Cả hai loại đa thức Chebyshev đều đạt cực trị tại 2 điểm đầu mút:

T n ( 1 ) = 1 {\displaystyle T_{n}(1)=1\,} T n ( − 1 ) = ( − 1 ) n {\displaystyle T_{n}(-1)=(-1)^{n}\,} U n ( 1 ) = n + 1 {\displaystyle U_{n}(1)=n+1\,} U n ( − 1 ) = ( n + 1 ) ( − 1 ) n . {\displaystyle U_{n}(-1)=(n+1)(-1)^{n}.\,}

Đạo hàm và tích phân

Đạo hàm

Khi đạo hàm các đa thức Chebyshev trong dạng lượng giác, ta suy ra:

d T n d x = n U n − 1 {\displaystyle {\frac {dT_{n}}{dx}}=nU_{n-1}\,} d U n d x = ( n + 1 ) T n + 1 − x U n x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {dU_{n}}{dx}}={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\,} d 2 T n d x 2 = n n T n − x U n − 1 x 2 − 1 = n ( n + 1 ) T n − U n x 2 − 1 . {\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\,}

Điểm đặc biệt của d 2 T n d x 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}} (là giá trị mà khi thay vào làm cho nó có dạng 0/0 dạng không xác định(indeterminate form)) là x = 1 and x=-1. Tại đó d 2 T n d x 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}} bằng:

d 2 T n d x 2 | x = 1 = n 4 − n 2 3 , {\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}{\Bigg |}_{x=1}\!\!={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},} d 2 T n d x 2 | x = − 1 = ( − 1 ) n n 4 − n 2 3 . {\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}{\Bigg |}_{x=-1}\!\!=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.}

Công thức tổng quát:

d p T n d x p | x = ± 1 = ( ± 1 ) n + p ∏ k = 0 p − 1 n 2 − k 2 2 k + 1 . {\displaystyle {\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}{\Bigg |}_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}.}

Kết quả này có ý nghĩa rất lớn trong tìm đáp số của giá trị đặc trưng.

Tích phân

Tích phân của Un:

∫ U n d x = T n + 1 n + 1 {\displaystyle \int U_{n}\,dx={\frac {T_{n+1}}{n+1}}\,}

Tích phân của Tn:

∫ T n d x = 1 2 ( T n + 1 n + 1 − T n − 1 n − 1 ) = n T n + 1 n 2 − 1 − x T n n − 1 . {\displaystyle \int T_{n}\,dx={\frac {1}{2}}\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {nT_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {xT_{n}}{n-1}}.\,}

Tính trực giao

Dãy Tn và dãy Un đều là dãy đa thức trực giao.

Cụ thể hơn, các đa thức loại I, xác định trên khoảng mở (−1,1)với mật độ (Tiếng Anh: The polynomials of the first kind are orthogonal with respect to the weight): 1 1 − x 2 , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\,\!} thì:

∫ − 1 1 T n ( x ) T m ( x ) d x 1 − x 2 = { 0 : n ≠ m π : n = m = 0 π / 2 : n = m ≠ 0 {\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}

Tính chất trên được chứng minh bằng cách thay x = cos ⁡ ( ϑ ) {\displaystyle x=\cos(\vartheta )} và sử dụng đẳng thức

T n ( cos ⁡ ( ϑ ) ) = cos ⁡ ( n ϑ ) {\displaystyle T_{n}(\cos(\vartheta ))=\cos(n\vartheta )} .

Tương tự các đa thức loại II xác định trên khoảng đóng [−1,1] với mật độ (tiếng Anh: The polynomials of the second kind are orthogonal with respect to the weight): 1 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!}

thì:

∫ − 1 1 U n ( x ) U m ( x ) 1 − x 2 d x = { 0 : n ≠ m , π / 2 : n = m . {\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m,\\\pi /2&:n=m.\end{cases}}}

(Chú ý giá trị lượng (weight) 1 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!} là mật độ của phân bố nửa đường tròn Wigner (tiếng Anh: Wigner semicircle distribution).

Đa thức Tn cũng thỏa mãn tính trực giao rời rạc (iếng Anh: discete orthogonality):

∑ k = 0 N − 1 T i ( x k ) T j ( x k ) = { 0 : i ≠ j N : i = j = 0 N / 2 : i = j ≠ 0 {\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&:i\neq j\\N&:i=j=0\\N/2&:i=j\neq 0\end{cases}}\,\!}

với x k {\displaystyle x_{k}} là không điểm Gauss–Lobatto thứ N của T N ( x ) {\displaystyle T_{N}(x)}

x k = cos ⁡ ( π ( k + 1 2 ) N ) . {\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\frac {1}{2}}\right)}{N}}\right).}

Định chuẩn nhỏ nhất

Với số nguyên bất kì n ≥ 1, trong số các đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất bằng 1, đa thức sau:

f ( x ) = 1 2 n − 1 T n ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}

có giá trị tuyệt đối lớn nhất trên đoạn [−1, 1] nhỏ nhất.

Trong công thức trên sở dĩ nhân 1 2 n − 1 {\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}} với T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} là bởi vì hệ số bậc cao nhất của đa thức T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} luôn bằng 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n-1}} .

Giá trị lớn nhất đó bằng:

1 2 n − 1 {\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}

và |ƒ(x)| đạt giá trị lớn nhất tại n + 1 điểm:

x = cos ⁡ k π n  for  0 ≤ k ≤ n . {\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}{\text{ for }}0\leq k\leq n.}

Mối liên hệ với các loại đa thức khác

Đa thức Chebyshev là trường hợp đặc biệt của Jacobi và đa thức Gegenbauer,

• T n ( x ) = 1 ( n − 1 2 n ) P n − 1 2 , − 1 2 ( x ) = n 2 C n 0 ( x ) , {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{n-{\frac {1}{2}} \choose n}}P_{n}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(x)={\frac {n}{2}}C_{n}^{0}(x),}
• U n ( x ) = 1 2 ( n + 1 2 n ) P n 1 2 , 1 2 ( x ) = C n 1 ( x ) . {\displaystyle U_{n}(x)={\frac {1}{2{n+{\frac {1}{2}} \choose n}}}P_{n}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(x)=C_{n}^{1}(x).}

Các tính chất khác

Đa thức Chebyshev là trường hợp đặc biệt của đa thức Gegenbauer, đến lượt mình đa thức Gegenbauer lại là trường hợp đặc biệt của Jacobi.

Với số nguyên n bất kì, Tn(x) và Un(x) đều là đa thức bậc n.

Nếu n chẵn thì Tn(x) và Un(x) là hàm chẵn, nghĩa là chỉ có các hệ số tương ứng với bậc chẵn là khác 0.

Ví dụ:

T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1\,} T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 {\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,} T 4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 {\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,} . U 0 ( x ) = 1 {\displaystyle U_{0}(x)=1\,} U 2 ( x ) = 4 x 2 − 1 {\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,} U 4 ( x ) = 16 x 4 − 12 x 2 + 1 {\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,} .

Nếu n lẻ thì Tn(x) và Un(x) là hàm lẻ, nghĩa là chỉ có các hệ số tương ứng với bậc lẻ là khác 0.

Ví dụ:

T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x\,} T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x {\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,} U 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle U_{1}(x)=2x\,} U 3 ( x ) = 8 x 3 − 4 x {\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,} .

Hệ số bậc cao nhất của Tn là 2n − 1 if 1 ≤ n, và 1 tương ứng với bậc bằng 0.

Tn là trường hợp riêng của đường cong Lissajous curve với tần số tỉ lệ (tiếng Anh: frequency ratio) là n.

Một số dãy đa thức khác, ví dụ đa thức Lucas (Ln), đa thức Dickson(Dn), và đa thức Fibonacci(Fn) có liên hệ với đa thức Chebyshev Tn and Un.

Đa thức Chebyshev loại I thỏa mãn công thức truy hồi sau:

T j ( x ) T k ( x ) = 1 2 ( T j + k ( x ) + T | j − k | ( x ) ) , ∀ j , k ≥ 0 , {\displaystyle T_{j}(x)T_{k}(x)={\frac {1}{2}}\left(T_{j+k}(x)+T_{|j-k|}(x)\right),\quad \forall j,k\geq 0,\,}

với mọi j và k.

Đối với đa thức Chebyshev loại II là:

U j ( x ) U k ( x ) = ( U j + k ( x ) + U | j − k | ( x ) ) , ∀ j ≠ 0 , k ≠ 0 {\displaystyle U_{j}(x)U_{k}(x)=\left(U_{j+k}(x)+U_{|j-k|}(x)\right),\quad \forall j\neq 0,k\neq 0} .

Từ công thức:

T n ( cos ⁡ θ ) = cos ⁡ ( n θ ) {\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}

suy ra công thức sau:

T 2 n + 1 ( sin ⁡ θ ) = ( − 1 ) n sin ⁡ ( ( 2 n + 1 ) θ ) {\displaystyle T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin((2n+1)\theta )} .